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Formaln als Bild:
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Bekannt:
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L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,
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Gesucht:
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L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, H_{Max}, x_{Verhältnis}
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Beziehungen:
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\frac{\Delta{H_F}}{L_F} = tan(\alpha_F) [1]
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\Delta{H_F} = tan(\alpha_F) \cdot L_F [1.2]
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\frac{\Delta{H_S}}{L_{S}} = tan(\alpha_S) [2]
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\Delta{H_S} = tan(\alpha_S) \cdot L_{S} [2.2]
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [3]
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L_1 = L_F + L_S [4]
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L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [5]
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$\Delta H_F$ aus [2.2] in [3]:
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_S [6]
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$L_S$ aus [4] in [6]:
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [7]
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$\Delta H_F$ aus [1] in [7]:
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tan(\alpha_F) \cdot L_F = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [8]
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auflösen nach $L_F$:
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L_F \cdot [tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) ] = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]
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L_F = \frac{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }
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$L_F$ in [5] und auflösen nach x:
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L_1 \cdot \frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} = x_{Verhältnis}
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\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{\frac{H_1 - H_0}{L_1}+ tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
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Es errechnet sich
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- $L_F$ aus Beziehung [9]
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- $L_S$ aus Beziehung [4]
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- $\Delta H_F$ aus Beziehung [1]
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- $\Delta H_S$ aus Beziehung [2]
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Bei der Annahme, dass $L_F$ immer ein "Teil", also kleiner als $L_1$ sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:
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<!---->
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\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
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{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
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$$
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{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
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$$
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