einfacherer Lösungsweg für Formel in Doku

Doku/Berechnung-foerderer-Längen.md

@@ -1,4 +1,8 @@
 ![Alt text](bilder/SkizzeFördererStrecke.svg "Skizze von Förder und Strecke")
+
+Formaln als Bild:
+![Alt text](bilder/Berechnung-Foerderer.png)
+
 Bekannt: 
 
 $$
@@ -15,61 +19,59 @@ $$
 Beziehungen:
 
 $$
-  \frac{\Delta{H_F}}{L_{F}} = tan(\alpha_F) [1]
+  \frac{\Delta{H_F}}{L_F} = tan(\alpha_F) [1]
 $$
 $$
-  \Delta{H_F} = tan(\alpha_F) * L_{F} [1.2]
+  \Delta{H_F} = tan(\alpha_F) \cdot L_F [1.2]
 $$
 $$
   \frac{\Delta{H_S}}{L_{S}} = tan(\alpha_S) [2]
 $$
 $$
-  \Delta{H_S} = tan(\alpha_S) * L_{S} [2.2]
+  \Delta{H_S} = tan(\alpha_S) \cdot L_{S} [2.2]
 $$
 $$
   \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [3]
 $$
 $$
-  L_1 = L_F + L_S [4]
+L_1 = L_F + L_S [4]
 $$
 $$
-  L_1 = L_F * x_{Verhältnis} [5]
+L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [5]
+$$
+$\Delta H_F$ aus [2.2] in [3]:
+$$ 
+  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_S [6]
+$$
+$L_S$ aus [4] in [6]:
+$$ 
+  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [7]
+$$
+$\Delta H_F$ aus [1] in [7]:
+$$ 
+  tan(\alpha_F) \cdot L_F = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [8]
+$$ 
+auflösen nach $L_F$:
+$$ 
+  L_F \cdot [tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) ] = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]
+$$
+$$ 
+  L_F = \frac{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) } 
+$$
+$L_F$ in [5] und auflösen nach x:
+$$
+L_1 \cdot \frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} = x_{Verhältnis}
 $$
 $$
-[5] in [4]: L_S = L_F * (x_{Verhältnis} - 1) [6]
-$$
-$$
-[2] in [3]: \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * L_{S} [7]
+\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{\frac{H_1 - H_0}{L_1}+ tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
 $$
 
-$$
-[6] in [7]: \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * L_F * (x_{Verhältnis} - 1) [8]
-$$
-$$
-[5] in [8]: \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * \frac{(x_{Verhältnis} - 1)}{x_{Verhältnis}} * L_1 [9]
-$$
-$$
-[1] in [8]: tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S) * (x_{Verhältnis} - 1) [10]
-$$
-$$
-  tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S) * (x_{Verhältnis} - 1) 
-$$
-auflösen nach x:
-$$
-tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr] - tan(\alpha_S) 
-  \\
-tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr] 
-$$
-$$
-\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
-$$
--->
-auflösen nach x:
 
-Dann errechnet sich leicht 
-- L_F aus Beziehung [5]
-- \Delta{H_F} aus [1]
-- und L_S aus [4]
+Es errechnet sich 
+- $L_F$ aus Beziehung [9]
+- $L_S$ aus Beziehung [4]
+- $\Delta H_F$ aus Beziehung [1]
+- $\Delta H_S$ aus Beziehung [2]
 
 Bei der Annahme, dass $L_F$ immer ein "Teil", also kleiner als $L_1$ sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:
 
@@ -85,7 +87,4 @@ $$
 {tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
 $$
 
-Als Bild:
-![Alt text](bilder/Berechnung-Foerderer.png)
-