SSG-Ruledesigner-Konfigurator/Doku/Berechnung-foerderer-Längen.md

Formaln als Bild:

Bekannt:

L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,

Gesucht:

L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, H_{Max}, x_{Verhältnis}

Beziehungen:

  \frac{\Delta{H_F}}{L_F} = tan(\alpha_F) [1]

  \Delta{H_F} = tan(\alpha_F) \cdot L_F [1.2]

  \frac{\Delta{H_S}}{L_{S}} = tan(\alpha_S) [2]

  \Delta{H_S} = tan(\alpha_S) \cdot L_{S} [2.2]

  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [3]

L_1 = L_F + L_S [4]

L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [5]

\Delta H_F aus [2.2] in [3]:

 
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_S [6]

L_S aus [4] in [6]:

 
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [7]

\Delta H_F aus [1] in [7]:

 
  tan(\alpha_F) \cdot L_F = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [8]

auflösen nach L_F:

 
  L_F \cdot [tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) ] = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]

 
  L_F = \frac{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) } 

L_F in [5] und auflösen nach x:

L_1 \cdot \frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} = x_{Verhältnis}

\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{\frac{H_1 - H_0}{L_1}+ tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}

Es errechnet sich

• L_F aus Beziehung [9]
• L_S aus Beziehung [4]
• \Delta H_F aus Beziehung [1]
• \Delta H_S aus Beziehung [2]

Bei der Annahme, dass L_F immer ein "Teil", also kleiner als L_1 sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:

\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1

{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}

{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}