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Bekannt:
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L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,\\
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H_{SEA}, L_{SEA}, H_{FEA}, L_{FEA}
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Gesucht:
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L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, H_{Max}, x_{Verhältnis}
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Beziehungen:
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\frac{\Delta{H_F} - H_{FEA}}{L_{F} - L_{FEA}} = tan(\alpha_F) [1]
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\Delta{H_F} = tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) + H_{FEA}[1.2]
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\frac{\Delta{H_S}-H_{SEA}}{L_{S}-L_{SEA}} = tan(\alpha_S) [2]
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\Delta{H_S} = tan(\alpha_S) \cdot (L_{S}-L_{SEA}) + H_{SEA} [2.2]
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H_0 + \Delta{H_F} = H_1 + \Delta{H_S} [4]
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [4.2]
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L_1 = L_F + L_S [5]
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L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [6]
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$L_1$ aus [6] in [5]:
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L_S = L_F \cdot (x_{Verhältnis} - 1) [7]
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$\Delta{H_S}$ aus [2.2] in [4.2]:
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_{S}-L_{SEA}) + H_{SEA}[9]
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$L_S$ aus [7] in [9]:
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot [L_F \cdot (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})] + H_{FEA}[10]
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$L_F$ aus [6] in [10]:
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot \Bigl[\frac{L_1}{x_{Verhältnis}} \cdot (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})\Bigr] + H_{FEA}[11]
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$\Delta H_F$ aus [1.2] in [11]:
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tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) + H_{FEA} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot \Bigl[\frac{L_1}{x_{Verhältnis}} \cdot (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})\Bigr] + H_{FEA}[12]
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dann [12] auflösen nach x:
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tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} = tan(\alpha_S) \cdot L_1 \cdot \Bigl[1 - \frac{1}{x_{Verhältnis}}\Bigr]
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tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} - L_1 \cdot tan(\alpha_S) = - tan(\alpha_S) \cdot L_1 \cdot \Bigl[\frac{1}{x_{Verhältnis}}\Bigr]
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\frac{tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} - L_1 \cdot tan(\alpha_S)}{- tan(\alpha_S) \cdot L_1 }= \frac{1}{x_{Verhältnis}}
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x_{Verhältnis}= \frac{- tan(\alpha_S) \cdot L_1 }{tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} - L_1 \cdot tan(\alpha_S)}
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x_{Verhältnis}= \frac{tan(\alpha_S) \cdot L_1 }{-tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} + L_{FEA}) + H_1 - H_0 - tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} + L_1 \cdot tan(\alpha_S)}
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Dann errechnet sich leicht
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- L_F aus Beziehung [6]
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- \Delta{H_F} aus [1]
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- und L_S aus [5]
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Bei der Annahme, dass $L_F$ immer ein "Teil", also kleiner als $L_1$ sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:
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\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
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{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
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{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
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