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Bekannt:
L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,
Gesucht:
L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, (\rightarrow H_{Max})
Beziehungen:
\frac{\Delta_{H_F}}{L_{F}} = tan(\alpha_F) [1]
\Delta_{H_F} = tan(\alpha_F) * L_{F} [1.2]
\frac{\Delta_{H_S}}{L_{S}} = tan(\alpha_S) [2]
\Delta_{H_S} = tan(\alpha_S) * L_{S} [2.2]
\Delta_{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta_{H_S} [3]
L_1 = L_F + L_S [4]
L_1 = L_F * x_{Verhältnis} [5]
[5] in [4]: L_S = L_F * (x_{Verhältnis} - 1) [6]
[2] in [3]: \Delta_{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * L_{S} [7]
[6] in [7]: \Delta_{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * L_F * (x_{Verhältnis} - 1) [8]
[5] in [8]: \Delta_{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * \frac{(x_{Verhältnis} - 1)}{x_{Verhältnis}} * L_1 [9]
[1] in [8]: tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S) * (x_{Verhältnis} - 1) [10]
tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S) * (x_{Verhältnis} - 1)
auflösen nach x:
tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr] - tan(\alpha_S)
\\
tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr]
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
--> auflösen nach x:
Dann errechnet sich leicht
- L_F aus Beziehung [5]
- \Delta_{H_F} aus [1]
- und L_S aus [4]
Bei der Annahme, dass L_F immer ein "Teil", also kleiner als L_1 sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}