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# Förderer transportiert aufwärts
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Formaln als Bild:
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Bekannt:
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$$
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L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,
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$$
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Gesucht:
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$$
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L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, x_{Verhältnis}
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$$
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Beziehungen:
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$$
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\frac{\Delta{H_F}}{L_F} = tan(\alpha_F) [1]
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$$
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$$
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\Delta{H_F} = tan(\alpha_F) \cdot L_F [1.2]
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$$
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$$
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\frac{\Delta{H_S}}{L_{S}} = tan(\alpha_S) [2]
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$$
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$$
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\Delta{H_S} = tan(\alpha_S) \cdot L_{S} [2.2]
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$$
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$$
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [3]
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$$
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$$
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L_1 = L_F + L_S [4]
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$$
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$$
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L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [5]
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$$
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$\Delta H_F$ aus [2.2] in [3]:
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$$
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_S [6]
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$$
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$L_S$ aus [4] in [6]:
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$$
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\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [7]
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$$
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$\Delta H_F$ aus [1] in [7]:
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$$
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tan(\alpha_F) \cdot L_F = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [8]
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$$
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auflösen nach $L_F$:
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$$
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L_F \cdot [tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) ] = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]
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$$
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$$
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L_F = \frac{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }
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$$
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$L_F$ in [5] und auflösen nach x:
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$$
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L_1 \cdot \frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} = x_{Verhältnis}
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$$
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$$
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\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{\frac{H_1 - H_0}{L_1}+ tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
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$$
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## Zusammenfasung
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Es errechnet sich
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- $L_F$ aus Beziehung [9]
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- $L_S$ aus Beziehung [4]
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- $\Delta H_F$ aus Beziehung [1]
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- $\Delta H_S$ aus Beziehung [2]
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Bei der Annahme, dass $L_F$ immer ein "Teil", also kleiner als $L_1$ sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:
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<!---->
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$$
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\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
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$$
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$$
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{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
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$$
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$$
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{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
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$$
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# Förderer transportiert abwärts
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Formaln als Bild:
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Unterschied ist hier, dass der Winkel $\alpha_F$ in einem anderen Ursprung definiert wird. Alternativ kann man bei gleichem Ursprung wie vorher über die Z-Winkel Beziehung $\alpha_F$ als negativen Winkel definieren, der dann als positiver Wert in $\alpha_F'$ eingesetzt wird.
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Dadurch ändert sich Gleichung 3 in:
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$$
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H_0 = H_1 + \Delta{H_S} + \Delta{H_F} [3]
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$$
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oder
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$$
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\Delta{H_F} = H_0 - H_1 - \Delta{H_S} [3.2]
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$$
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d.h. auf der rechten Seite haben alle Komponenten das jeweils inverse Vorzeichen.
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Anstatt wie oben
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$$
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\Delta{H_F} = - H_0 + H_1 + \Delta{H_S} [3-Aufwärts]
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$$
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daraus ergibt sich für $L_F$:
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$$
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L_F \cdot [tan(\alpha_F') - tan(\alpha_S) ] = H0 - H_1 - tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]
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$$
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$$
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L_F = \frac{H_0 - H_1 - tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F') - tan(\alpha_S) }
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$$
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## Zusammenfasung
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1. Berechnung von x_{Verhältnis}:
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$$ x_{Verhältnis} = \frac{\left( \tan(\alpha_F) - \tan(\alpha_S) \right) \cdot L_1}{H_0 - H_1 - \tan(\alpha_S) \cdot L_1} $$
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2. Berechnung von L_F :
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$$ L_F = \frac{L_1}{x_{Verhältnis}} $$
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3. Berechnung von L_S :
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$$ L_S = L_1 - L_F $$
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4. Berechnung von $\Delta H_F$:
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$$ \Delta H_F = \tan(\alpha_F) \cdot L_F $$
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5. Berechnung von $\Delta H_S$:
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$$ \Delta H_S = \tan(\alpha_S) \cdot L_S $$
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