Berechnung von ChatGpt Kontrolliert und vereinfachten Rechenweg für Ein und Auslauf bestimmt

2024-05-28 15:28:17 +02:00
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 ![Alt text](bilder/SkizzeFördererStrecke_mitEinAuslauf.svg "Skizze von Förder und Strecke")
 Bekannt: 

-<!--![Alt text](bilder/Formel_bekannt.png)-->
+![Alt text](bilder/Berechnung-Foerderer-extended.png)
 $$
 L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,\\
 H_{SEA}, L_{SEA}, H_{FEA}, L_{FEA}
 $$
 Gesucht:

-<!--![Alt text](bilder/Formel_gesucht.png)-->
 $$
 L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, H_{Max}, x_{Verhältnis}
 $$

 Beziehungen:

-<!--![Alt text](bilder/Formel_beziehungen_1_8.png)-->
-<!--![Alt text](bilder/Formel_beziehungen_9_13.png)-->
 $$
  \frac{\Delta{H_F} - H_{FEA}}{L_{F} - L_{FEA}} = tan(\alpha_F) [1]
 $$
@@ -41,60 +38,46 @@ $$
 $$
  L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [6]
 $$
-$L_1$ aus [6] in [5]: 
+ $\Delta H_S$ aus [2.2] in [4.2]:
 $$
- L_S = L_F \cdot (x_{Verhältnis} - 1) [7]
-$$
-$\Delta{H_S}$ aus [2.2] in [4.2]:
-$$
- \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_{S}-L_{SEA}) + H_{SEA}[9]
-$$
-$L_S$ aus [7] in [9]:
-$$
-\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot [L_F \cdot (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})] + H_{FEA}[10]
-$$
-$L_F$ aus [6] in [10]:
-$$
-\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot \Bigl[\frac{L_1}{x_{Verhältnis}} \cdot (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})\Bigr] + H_{FEA}[11]
-$$
-$\Delta H_F$ aus [1.2] in [11]:
-$$
-tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) + H_{FEA} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot \Bigl[\frac{L_1}{x_{Verhältnis}} \cdot (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})\Bigr] + H_{FEA}[12]
-$$
-dann [12] auflösen nach x:
-$$
-tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} = tan(\alpha_S) \cdot L_1 \cdot \Bigl[1 - \frac{1}{x_{Verhältnis}}\Bigr]
-$$
-$$
-tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} - L_1 \cdot tan(\alpha_S) = - tan(\alpha_S) \cdot L_1 \cdot \Bigl[\frac{1}{x_{Verhältnis}}\Bigr]
-$$
-$$
-\frac{tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} - L_1 \cdot tan(\alpha_S)}{- tan(\alpha_S) \cdot L_1 }= \frac{1}{x_{Verhältnis}}
-$$
-$$
-x_{Verhältnis}= \frac{- tan(\alpha_S) \cdot L_1 }{tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} - L_{FEA}) - H_1 + H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} - L_1 \cdot tan(\alpha_S)}
-$$
-$$
-x_{Verhältnis}= \frac{tan(\alpha_S) \cdot L_1 }{-tan(\alpha_F) \cdot (L_{F} + L_{FEA}) + H_1 - H_0 - tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} + L_1 \cdot tan(\alpha_S)}
+\Delta H_F = H_1 - H_0 + (\tan(\alpha_S) \cdot (L_S - L_{SEA}) + H_{SEA}) [7]
 $$

-<!--![Alt text](bilder/Formel_aufloesen_x.png)-->
-<!--
-Dann errechnet sich leicht 
- L_F aus Beziehung [6]
- \Delta{H_F} aus [1]
- und L_S aus [5]
+$\Delta H_F$ aus [1.2] in [7]:

-Bei der Annahme, dass $L_F$ immer ein "Teil", also kleiner als $L_1$ sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:
+   $$ \tan(\alpha_F) \cdot (L_F - L_{FEA}) + H_{FEA} = H_1 - H_0 + (\tan(\alpha_S) \cdot (L_S - L_{SEA}) + H_{SEA}) [8]$$ 

+$L_S$ aus [5] in [8]:
+
+   $$ \tan(\alpha_F) \cdot (L_F - L_{FEA}) + H_{FEA} = H_1 - H_0 + \tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F - L_{SEA}) + H_{SEA} [9]$$
+
+### auflösen der Gleichung nach $L_F$.
+
+1. **Erweitere die Gleichung:**
+   $$ \tan(\alpha_F) \cdot L_F - \tan(\alpha_F) \cdot L_{FEA} + H_{FEA} = H_1 - H_0 + \tan(\alpha_S) \cdot L_1 - \tan(\alpha_S) \cdot L_F - \tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} + H_{SEA} $$
+
+2. **Sortiere die Gleichung nach $L_F$:**
+   $$ \tan(\alpha_F) \cdot L_F + \tan(\alpha_S) \cdot L_F = H_1 - H_0 + \tan(\alpha_S) \cdot L_1 - \tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} + H_{SEA} + \tan(\alpha_F) \cdot L_{FEA} - H_{FEA} $$
+
+   $$ L_F (\tan(\alpha_F) + \tan(\alpha_S)) = H_1 - H_0 + \tan(\alpha_S) \cdot L_1 - \tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} + H_{SEA} + \tan(\alpha_F) \cdot L_{FEA} - H_{FEA} $$
+
+3. **Löse nach $L_F$ auf:**
+   $$ L_F = \frac{H_1 - H_0 + \tan(\alpha_S) \cdot L_1 - \tan(\alpha_S) \cdot L_{SEA} + H_{SEA} + \tan(\alpha_F) \cdot L_{FEA} - H_{FEA}}{\tan(\alpha_F) + \tan(\alpha_S)} $$
+
+### Bestimmung der restlichen Größen:
+
+1. **$L_S$:**
+   $$ L_S = L_1 - L_F $$
+
+2. **$\Delta H_F$:**
+   $$ \Delta H_F = \tan(\alpha_F) \cdot (L_F - L_{FEA}) + H_{FEA} $$
+
+3. **$\Delta H_S$:**
+   $$ \Delta H_S = \tan(\alpha_S) \cdot (L_S - L_{SEA}) + H_{SEA} $$
+
+4. **$H_{Max}$:**
+   $$ H_{Max} = H_0 + \Delta H_F $$
+
+5. **$x_{Verhältnis}$:**
+   $$ x_{Verhältnis} = \frac{L_1}{L_F} $$

-$$
-\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
-$$
-$$
-{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
-$$
-$$
-{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
-$$
-->