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Um den Abstand eines Punktes $P$ von einer Strecke $\overline{AB}$ im zweidimensionalen Raum zu berechnen, gehst du wie folgt vor:
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### Gegeben:
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* Punkt $P = (x_0, y_0)$
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* Strecke mit den Endpunkten $A = (x_1, y_1)$, $B = (x_2, y_2)$
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### Schritt-für-Schritt-Lösung:
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1. **Vektorbildung**:
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* $\vec{AP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)$
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* $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$
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2. **Skalare Projektion von $\vec{AP}$ auf $\vec{AB}$**:
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t = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}
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$$
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3. **Fallunterscheidung**:
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* Wenn $t < 0$: nächstgelegener Punkt ist $A$
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* Wenn $t > 1$: nächstgelegener Punkt ist $B$
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* Wenn $0 \leq t \leq 1$: Projektion fällt auf die Strecke, d.h. Punkt $Q = A + t \cdot \vec{AB}$
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4. **Abstandsberechnung**:
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* Falls $t < 0$ oder $t > 1$: Abstand = $|P - A|$ bzw. $|P - B|$
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* Sonst: Abstand = $|P - Q|$
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### Beispiel in Formel:
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$$
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\text{Abstand} =
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\begin{cases}
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\sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2}, & \text{wenn } t < 0 \\
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\sqrt{(x_0 - x_2)^2 + (y_0 - y_2)^2}, & \text{wenn } t > 1 \\
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\sqrt{(x_0 - x_q)^2 + (y_0 - y_q)^2}, & \text{sonst}
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\end{cases}
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$$
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wobei:
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x_q = x_1 + t \cdot (x_2 - x_1), \quad y_q = y_1 + t \cdot (y_2 - y_1)
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$$
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