SSG-Ruledesigner-Konfigurator/Doku/Berechnung-foerderer-Längen.md

Förderer transportiert aufwärts

Formaln als Bild:

Bekannt:

L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,

Gesucht:

L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, x_{Verhältnis}

Beziehungen:

  \frac{\Delta{H_F}}{L_F} = tan(\alpha_F) [1]

  \Delta{H_F} = tan(\alpha_F) \cdot L_F [1.2]

  \frac{\Delta{H_S}}{L_{S}} = tan(\alpha_S) [2]

  \Delta{H_S} = tan(\alpha_S) \cdot L_{S} [2.2]

  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [3]

L_1 = L_F + L_S [4]

L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [5]

\Delta H_F aus [2.2] in [3]:

 
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_S [6]

L_S aus [4] in [6]:

 
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [7]

\Delta H_F aus [1] in [7]:

 
  tan(\alpha_F) \cdot L_F = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [8]

auflösen nach L_F:

 
  L_F \cdot [tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) ] = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]

 
  L_F = \frac{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) } 

L_F in [5] und auflösen nach x:

L_1 \cdot \frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} = x_{Verhältnis}

\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{\frac{H_1 - H_0}{L_1}+ tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}

Zusammenfasung

Es errechnet sich

• L_F aus Beziehung [9]
• L_S aus Beziehung [4]
• \Delta H_F aus Beziehung [1]
• \Delta H_S aus Beziehung [2]

Bei der Annahme, dass L_F immer ein "Teil", also kleiner als L_1 sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:

\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1

{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}

{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}

Förderer transportiert abwärts

Formaln als Bild:

Unterschied ist hier, dass der Winkel \alpha_F in einem anderen Ursprung definiert wird. Alternativ kann man bei gleichem Ursprung wie vorher über die Z-Winkel Beziehung \alpha_F als negativen Winkel definieren, der dann als positiver Wert in \alpha_F' eingesetzt wird.

Dadurch ändert sich Gleichung 3 in:

   H_0 = H_1 + \Delta{H_S} + \Delta{H_F}   [3]

oder

   \Delta{H_F} = H_0 - H_1 - \Delta{H_S}   [3.2]

d.h. auf der rechten Seite haben alle Komponenten das jeweils inverse Vorzeichen. Anstatt wie oben

  \Delta{H_F} = - H_0  + H_1 + \Delta{H_S} [3-Aufwärts]

daraus ergibt sich für L_F:

 
  L_F \cdot [tan(\alpha_F') - tan(\alpha_S) ] = H0 - H_1 - tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]

 
  L_F = \frac{H_0 - H_1 - tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F') - tan(\alpha_S) } 

Zusammenfasung

1. Berechnung von x_{Verhältnis}:

x_{Verhältnis} = \frac{\left( \tan(\alpha_F) - \tan(\alpha_S) \right) \cdot L_1}{H_0 - H_1 - \tan(\alpha_S) \cdot L_1}

2. Berechnung von L_F :

L_F = \frac{L_1}{x_{Verhältnis}}

3. Berechnung von L_S :

L_S = L_1 - L_F

4. Berechnung von \Delta H_F:

\Delta H_F = \tan(\alpha_F) \cdot L_F

5. Berechnung von \Delta H_S:

\Delta H_S = \tan(\alpha_S) \cdot L_S