kabellaengen/doc/Abstand_Punkt-Strecke.md

Um den Abstand eines Punktes P von einer Strecke \overline{AB} im zweidimensionalen Raum zu berechnen, gehst du wie folgt vor:

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Gegeben:

• Punkt P = (x_0, y_0)
• Strecke mit den Endpunkten A = (x_1, y_1), B = (x_2, y_2)

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Schritt-für-Schritt-Lösung:

1. Vektorbildung:

   • \vec{AP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)
   • \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

2. Skalare Projektion von \vec{AP} auf $\vec{AB}$:

   
   t = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}
   

3. Fallunterscheidung:

   • Wenn t < 0: nächstgelegener Punkt ist A
   • Wenn t > 1: nächstgelegener Punkt ist B
   • Wenn 0 \leq t \leq 1: Projektion fällt auf die Strecke, d.h. Punkt Q = A + t \cdot \vec{AB}

4. Abstandsberechnung:

   • Falls t < 0 oder t > 1: Abstand = |P - A| bzw. |P - B|
   • Sonst: Abstand = |P - Q|

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Beispiel in Formel:

\text{Abstand} =
\begin{cases}
\sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2}, & \text{wenn } t < 0 \\
\sqrt{(x_0 - x_2)^2 + (y_0 - y_2)^2}, & \text{wenn } t > 1 \\
\sqrt{(x_0 - x_q)^2 + (y_0 - y_q)^2}, & \text{sonst}
\end{cases}

wobei:

x_q = x_1 + t \cdot (x_2 - x_1), \quad y_q = y_1 + t \cdot (y_2 - y_1)