Um den Abstand eines Punktes $P$ von einer Strecke $\overline{AB}$ im zweidimensionalen Raum zu berechnen, gehst du wie folgt vor:

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### Gegeben:

* Punkt $P = (x_0, y_0)$
* Strecke mit den Endpunkten $A = (x_1, y_1)$, $B = (x_2, y_2)$

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### Schritt-für-Schritt-Lösung:

1. **Vektorbildung**:

   * $\vec{AP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1)$
   * $\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

2. **Skalare Projektion von $\vec{AP}$ auf $\vec{AB}$**:

   $$
   t = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2}
   $$

3. **Fallunterscheidung**:

   * Wenn $t < 0$: nächstgelegener Punkt ist $A$
   * Wenn $t > 1$: nächstgelegener Punkt ist $B$
   * Wenn $0 \leq t \leq 1$: Projektion fällt auf die Strecke, d.h. Punkt $Q = A + t \cdot \vec{AB}$

4. **Abstandsberechnung**:

   * Falls $t < 0$ oder $t > 1$: Abstand = $|P - A|$ bzw. $|P - B|$
   * Sonst: Abstand = $|P - Q|$

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### Beispiel in Formel:

$$
\text{Abstand} =
\begin{cases}
\sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2}, & \text{wenn } t < 0 \\
\sqrt{(x_0 - x_2)^2 + (y_0 - y_2)^2}, & \text{wenn } t > 1 \\
\sqrt{(x_0 - x_q)^2 + (y_0 - y_q)^2}, & \text{sonst}
\end{cases}
$$

wobei:

$$
x_q = x_1 + t \cdot (x_2 - x_1), \quad y_q = y_1 + t \cdot (y_2 - y_1)
$$

