Simon Schmutzler
4.0 KiB
Bekannt:
L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,\\
H_{SEA}, L_{SEA}, H_{FEA}, L_{FEA}
Gesucht:
L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, (\rightarrow H_{Max})
Beziehungen:
\frac{\Delta{H_F} - H_{FEA}}{L_{F} - L_{FEA}} = tan(\alpha_F) [1]
\Delta{H_F} = tan(\alpha_F) * (L_{F} - L_{FEA}) + H_{FEA}[1.2]
\frac{\Delta{H_S}-H_{SEA}}{L_{S}-L_{SEA}} = tan(\alpha_S) [2]
\Delta{H_S} = tan(\alpha_S) * (L_{S}-L_{SEA}) + H_{SEA} [2.2]
H_0 + \Delta{H_F} = H_1 + \Delta{H_S} [4]
\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [4.2]
L_1 = L_F + L_S [5]
L_1 = L_F * x_{Verhältnis} [6]
L_1 aus [6] in [5]:
L_S = L_F * (x_{Verhältnis} - 1) [7]
\Delta{H_S} aus [2.2] in [4.2]:
\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * (L_{S}-L_{SEA}) + H_{SEA}[9]
L_S aus [7] in [9]:
\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * [L_F * (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})] + H_{FEA}[10]
L_F aus [6] in [10]:
\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * \Bigl[\frac{L_1}{x_{Verhältnis}} * (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})\Bigr] + H_{FEA}[10]
auflösen nach x:
\Delta{H_F} - H_{FEA} + H_0 - H_1 + tan(\alpha_S) * L_{SEA} = tan(\alpha_S) * L_F * (x_{Verhältnis} - 1)
tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr] - tan(\alpha_S)
\\
tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr]
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
Dann errechnet sich leicht
- L_F aus Beziehung [6]
- \Delta{H_F} aus [1]
- und L_S aus [5]
Bei der Annahme, dass L_F immer ein "Teil", also kleiner als L_1 sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
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C-GPT
Bekannte Werte:
L1, H0, H1, alpha_F, alpha_S, H_SEA, L_SEA, H_FEA, L_FEA
Gesucht:
L_F, L_S, ΔH_F, ΔH_S, (→ H_Max)
Beziehungen:
[1] (ΔH_F - H_FEA) / (L_F - L_FEA) = tan(alpha_F)
[1.2] ΔH_F = tan(alpha_F) * (L_F - L_FEA) + H_FEA
[2] (ΔH_S - H_SEA) / (L_S - L_SEA) = tan(alpha_S)
[2.2] ΔH_S = tan(alpha_S) * (L_S - L_SEA) + H_SEA
[4] H_0 + ΔH_F = H_1 + ΔH_S
[4.2] ΔH_F = H_1 - H_0 + ΔH_S
[5] L_1 = L_F + L_S
[6] L_1 = L_F * x_Verhältnis
Umstellen der Gleichungen für ΔH_F und ΔH_S:
ΔH_F = tan(alpha_F) * (L_F - L_FEA) + H_FEA ΔH_S = tan(alpha_S) * (L_S - L_SEA) + H_SEA
Einsetzen von L_S = L_1 - L_F:
tan(alpha_F) * (L_F - L_FEA) + H_FEA = H_1 - H_0 + (tan(alpha_S) * ((L_1 - L_F) - L_SEA) + H_SEA)
Auflösen nach L_F:
tan(alpha_F) * L_F - tan(alpha_F) * L_FEA + H_FEA = H_1 - H_0 + tan(alpha_S) * L_1 - tan(alpha_S) * L_F - tan(alpha_S) * L_SEA + H_SEA
Gruppieren der Terme:
tan(alpha_F) * L_F + tan(alpha_S) * L_F = tan(alpha_S) * L_1 + H_1 - H_0 - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA
L_F isolieren:
L_F = (tan(alpha_S) * L_1 + H_1 - H_0 - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA) / (tan(alpha_F) + tan(alpha_S))
Berechnung von x_Verhältnis:
x_Verhältnis = L_F / L_1 x_Verhältnis = (tan(alpha_S) + (H_1 - H_0 - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA) / L_1) / (tan(alpha_F) + tan(alpha_S))
Vereinfachte Formel für x_Verhältnis:
x_Verhältnis = (tan(alpha_S) + ((H_1 - H_0) - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA) / L_1) / (tan(alpha_F) + tan(alpha_S))