14 KiB
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Gleichungen Förderer aufwärts
violett ist F wie Förderer
hellblau ist S wie Strecke
AS ist Ausschleus- Element
ES ist Einschleus- Element
Gegeben
H_0, H_1, L_1, \alpha_F, \alpha_S, L_{ES}, H_{ES}, L_{AS}, H_{AS}
Gesucht
L_F, L_S, H_F, H_S
Grundgleichungen (H_1 > H_0, Förderrichtung: von H_0 nach H_1)
(1) Horizontal:
L_1 = L_{ES} + L_F + L_S + L_{AS}
(2) Vertikal:
H_1 - H_0 = H_F - H_S - H_{ES} - H_{AS}
(3) Neigung F:
\tan(\alpha_F) = \frac{H_F}{L_F} \quad \Rightarrow \quad H_F = L_F \cdot \tan(\alpha_F)
(4) Neigung S:
\tan(\alpha_S) = \frac{H_S}{L_S} \quad \Rightarrow \quad H_S = L_S \cdot \tan(\alpha_S)
Lösung (Einsetzen von (3),(4) in (1),(2))
(I)
L_F + L_S = L_1 - L_{ES} - L_{AS}
(II)
L_F \cdot \tan(\alpha_F) - L_S \cdot \tan(\alpha_S) = (H_1 - H_0) + H_{ES} + H_{AS}
Ergebnis
L_F = \frac{(H_1 - H_0 + H_{ES} + H_{AS}) + (L_1 - L_{ES} - L_{AS}) \cdot \tan(\alpha_S)}{\tan(\alpha_F) + \tan(\alpha_S)}
L_S = (L_1 - L_{ES} - L_{AS}) - L_F
H_F = L_F \cdot \tan(\alpha_F)
H_S = L_S \cdot \tan(\alpha_S)
Gleichungen Förderer abwärts
Gegeben
H_0, H_1, L_1, \alpha_F, \alpha_S, L_{ES}, H_{ES}, L_{AS}, H_{AS}
Gesucht
L_F, L_S, H_F, H_S
Grundgleichungen (H_0 > H_1, Förderrichtung: von H_0 nach H_1)
(1) Horizontal:
L_1 = L_{ES} + L_F + L_S + L_{AS}
(2) Vertikal:
H_0 - H_1 = H_{ES} + H_F + H_S + H_{AS}
(3) Neigung F:
\tan(\alpha_F) = \frac{H_F}{L_F} \quad \Rightarrow \quad H_F = L_F \cdot \tan(\alpha_F)
(4) Neigung S:
\tan(\alpha_S) = \frac{H_S}{L_S} \quad \Rightarrow \quad H_S = L_S \cdot \tan(\alpha_S)
Lösung (Einsetzen von (3),(4) in (1),(2))
(I)
L_F + L_S = L_1 - L_{ES} - L_{AS}
(II)
L_F \cdot \tan(\alpha_F) + L_S \cdot \tan(\alpha_S) = (H_0 - H_1) - H_{ES} - H_{AS}
Ergebnis
L_F = \frac{(H_0 - H_1 - H_{ES} - H_{AS}) - (L_1 - L_{ES} - L_{AS}) \cdot \tan(\alpha_S)}{\tan(\alpha_F) - \tan(\alpha_S)}
L_S = (L_1 - L_{ES} - L_{AS}) - L_F
H_F = L_F \cdot \tan(\alpha_F)
H_S = L_S \cdot \tan(\alpha_S)
Zusammenfassung
Wobei \alpha_S normalerweise immer bei 3° liegt und \alpha_F von 3,6,9,12,15.. 51° läuft.
#!/usr/bin/env python3
"""
Förderer-Berechnung in 2D – beide Fälle
====================================================
Aufwärts (H1 > H0):
ΔH = H1 - H0
L_F = (ΔH + H_ES + H_AS + L_rest·tan(α_S)) / (tan(α_F) + tan(α_S))
Probe: H_F - H_S - H_ES - H_AS = ΔH
Abwärts (H0 > H1):
ΔH = H0 - H1
L_F = (ΔH - H_ES - H_AS - L_rest·tan(α_S)) / (tan(α_F) - tan(α_S))
Probe: H_ES + H_F + H_S + H_AS = ΔH
"""
import math
# ============================================================
# KONSTANTEN [alle in Meter / Grad]
# ============================================================
H0 = 2.0
H1 = 5.0
L1 = 8.0
L_ES = 1.0
H_ES = 0.3
L_AS = 1.0
H_AS = 0.3
ALPHA_S = 3.0
ALPHA_F_LIST = [3, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 33, 39, 45, 51]
def berechne(h0, h1, l1, l_es, h_es, l_as, h_as, alpha_f_deg, alpha_s_deg):
"""
Berechnet L_F, L_S, H_F, H_S.
Unterscheidet automatisch aufwärts/abwärts anhand h0 vs h1.
"""
alpha_f = math.radians(alpha_f_deg)
alpha_s = math.radians(alpha_s_deg)
tan_f = math.tan(alpha_f)
tan_s = math.tan(alpha_s)
l_rest = l1 - l_es - l_as
if h1 >= h0:
# === AUFWÄRTS ===
# (2): H1 - H0 = H_F - H_S - H_ES - H_AS
delta_h = h1 - h0
nenner = tan_f + tan_s
if abs(nenner) < 1e-12:
return None
zaehler = (delta_h + h_es + h_as) + l_rest * tan_s
fall = "aufwärts"
else:
# === ABWÄRTS ===
# (2): H0 - H1 = H_ES + H_F + H_S + H_AS
delta_h = h0 - h1
nenner = tan_f - tan_s
if abs(nenner) < 1e-12:
return None
zaehler = (delta_h - h_es - h_as) - l_rest * tan_s
fall = "abwärts"
l_f = zaehler / nenner
l_s = l_rest - l_f
h_f = l_f * tan_f
h_s = l_s * tan_s
# Gegenprobe
if fall == "aufwärts":
probe = h_f - h_s - h_es - h_as # soll = H1-H0
else:
probe = h_es + h_f + h_s + h_as # soll = H0-H1
return {
"L_F": l_f, "L_S": l_s,
"H_F": h_f, "H_S": h_s,
"fall": fall, "delta_h": delta_h, "probe": probe,
}
def validierung(erg):
probleme = []
for key in ("L_F", "L_S", "H_F", "H_S"):
if erg[key] < 0:
probleme.append(f"{key} < 0")
# L_F und L_S dürfen auch nicht > L_rest sein (implizit durch L_S < 0)
return (len(probleme) == 0, probleme)
def md_tabelle(fall_name, h0_val, h1_val):
"""Erzeugt Markdown-Tabelle. Fall wird aus h0/h1 abgeleitet."""
l_rest = L1 - L_ES - L_AS
delta_h = abs(h1_val - h0_val)
richtung = "aufwärts" if h1_val >= h0_val else "abwärts"
lines = []
lines.append(f"### {fall_name}")
lines.append(f"H₀ = {h0_val:.3f} m, H₁ = {h1_val:.3f} m → **{richtung}**, "
f"ΔH = {delta_h:.4f} m, L_rest = {l_rest:.3f} m\n")
if richtung == "aufwärts":
lines.append("Formel: L_F = (ΔH + H_ES + H_AS + L_rest·tan α_S) / "
"(tan α_F **+** tan α_S)")
lines.append("")
lines.append("Probe: H_F − H_S − H_ES − H_AS = ΔH\n")
else:
lines.append("Formel: L_F = (ΔH − H_ES − H_AS − L_rest·tan α_S) / "
"(tan α_F **−** tan α_S)")
lines.append("")
lines.append("Probe: H_ES + H_F + H_S + H_AS = ΔH\n")
lines.append("| α_F [°] | L_F [m] | L_S [m] | H_F [m] | H_S [m] | Probe | Status |")
lines.append("|--------:|--------:|--------:|--------:|--------:|------:|--------|")
for alpha_f_deg in ALPHA_F_LIST:
erg = berechne(h0_val, h1_val, L1, L_ES, H_ES, L_AS, H_AS,
alpha_f_deg, ALPHA_S)
if erg is None:
lines.append(f"| {alpha_f_deg} | — | — | — | — | — | ⚠ Nenner = 0 |")
continue
gueltig, probleme = validierung(erg)
status = "✓ gültig" if gueltig else f"✗ {', '.join(probleme)}"
lines.append(
f"| {alpha_f_deg} "
f"| {erg['L_F']:.4f} "
f"| {erg['L_S']:.4f} "
f"| {erg['H_F']:.4f} "
f"| {erg['H_S']:.4f} "
f"| {erg['probe']:.4f} "
f"| {status} |"
)
lines.append("")
return "\n".join(lines)
def grenzen():
"""Erzeugt Übersichtstabellen: für welche (ΔH, L1) Kombinationen
existieren gültige Lösungen? Zeigt den kleinsten gültigen α_F.
ΔH von 0..5 m, L1 von 3..15 m."""
delta_h_list = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
l1_list = [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]
lines = []
for richtung in ("aufwärts", "abwärts"):
lines.append(f"### {richtung.capitalize()}\n")
lines.append("Zelle = kleinster gültiger α_F [°], "
"**—** = keine Lösung\n")
# Header
header = "| ΔH \\ L₁ |" + "|".join(f" {l1} m " for l1 in l1_list) + "|"
sep = "|--------:|" + "|".join("------:" for _ in l1_list) + "|"
lines.append(header)
lines.append(sep)
for dh in delta_h_list:
if richtung == "aufwärts":
h0, h1 = 0, dh
else:
h0, h1 = dh, 0
row = f"| {dh} m |"
for l1 in l1_list:
min_alpha = None
for alpha_f_deg in ALPHA_F_LIST:
erg = berechne(h0, h1, l1, L_ES, H_ES, L_AS, H_AS,
alpha_f_deg, ALPHA_S)
if erg is not None:
gueltig, _ = validierung(erg)
if gueltig:
min_alpha = alpha_f_deg
break
if min_alpha is not None:
row += f" {min_alpha}° |"
else:
row += " — |"
lines.append(row)
lines.append("")
return "\n".join(lines)
def main():
md = []
md.append("# Förderer-Berechnung (2D-Modell)\n")
md.append("## Gegebene Werte\n")
md.append("| Parameter | Wert |")
md.append("|-----------|-----:|")
md.append(f"| H₀ | {H0:.3f} m |")
md.append(f"| H₁ | {H1:.3f} m |")
md.append(f"| L₁ | {L1:.3f} m |")
md.append(f"| L_ES | {L_ES:.3f} m |")
md.append(f"| H_ES | {H_ES:.3f} m |")
md.append(f"| L_AS | {L_AS:.3f} m |")
md.append(f"| H_AS | {H_AS:.3f} m |")
md.append(f"| α_S | {ALPHA_S:.1f}° |")
md.append("")
md.append("## Ergebnisse\n")
# Fall 1: Aufwärts – H0=2 → H1=5
md.append(md_tabelle("Fall 1: Aufwärts", h0_val=H0, h1_val=H1))
# Fall 2: Abwärts – H0=5 → H1=2 (vertauscht!)
md.append(md_tabelle("Fall 2: Abwärts", h0_val=H1, h1_val=H0))
md.append("## Grenzen der Varianten\n")
md.append(grenzen())
result = "\n".join(md)
print(result)
if __name__ == "__main__":
main()
Förderer-Berechnung (2D-Modell)
Gegebene Werte
| Parameter | Wert |
|---|---|
| H₀ | 2.000 m |
| H₁ | 5.000 m |
| L₁ | 8.000 m |
| L_ES | 1.000 m |
| H_ES | 0.300 m |
| L_AS | 1.000 m |
| H_AS | 0.300 m |
| α_S | 3.0° |
Ergebnisse
Fall 1: Aufwärts
H₀ = 2.000 m, H₁ = 5.000 m → aufwärts, ΔH = 3.0000 m, L_rest = 6.000 m
Formel: L_F = (ΔH + H_ES + H_AS + L_rest·tan α_S) / (tan α_F + tan α_S)
Probe: H_F − H_S − H_ES − H_AS = ΔH
| α_F [°] | L_F [m] | L_S [m] | H_F [m] | H_S [m] | Probe | Status |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 37.3460 | -31.3460 | 1.9572 | -1.6428 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 6 | 24.8517 | -18.8517 | 2.6120 | -0.9880 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 9 | 18.5702 | -12.5702 | 2.9412 | -0.6588 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 12 | 14.7735 | -8.7735 | 3.1402 | -0.4598 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 15 | 12.2190 | -6.2190 | 3.2741 | -0.3259 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 18 | 10.3741 | -4.3741 | 3.3708 | -0.2292 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 24 | 7.8661 | -1.8661 | 3.5022 | -0.0978 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 27 | 6.9660 | -0.9660 | 3.5494 | -0.0506 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 33 | 5.5776 | 0.4224 | 3.6221 | 0.0221 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 39 | 4.5401 | 1.4599 | 3.6765 | 0.0765 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 45 | 3.7195 | 2.2805 | 3.7195 | 0.1195 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 51 | 3.0408 | 2.9592 | 3.7551 | 0.1551 | 3.0000 | ✓ gültig |
Fall 2: Abwärts
H₀ = 5.000 m, H₁ = 2.000 m → abwärts, ΔH = 3.0000 m, L_rest = 6.000 m
Formel: L_F = (ΔH − H_ES − H_AS − L_rest·tan α_S) / (tan α_F − tan α_S)
Probe: H_ES + H_F + H_S + H_AS = ΔH
| α_F [°] | L_F [m] | L_S [m] | H_F [m] | H_S [m] | Probe | Status |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | — | — | — | — | — | ⚠ Nenner = 0 |
| 6 | 39.5767 | -33.5767 | 4.1597 | -1.7597 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 9 | 19.6794 | -13.6794 | 3.1169 | -0.7169 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 12 | 13.0226 | -7.0226 | 2.7680 | -0.3680 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 15 | 9.6759 | -3.6759 | 2.5926 | -0.1926 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 18 | 7.6531 | -1.6531 | 2.4866 | -0.0866 | 3.0000 | ✗ L_S < 0, H_S < 0 |
| 24 | 5.3092 | 0.6908 | 2.3638 | 0.0362 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 27 | 4.5624 | 1.4376 | 2.3247 | 0.0753 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 33 | 3.4934 | 2.5066 | 2.2686 | 0.1314 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 39 | 2.7537 | 3.2463 | 2.2299 | 0.1701 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 45 | 2.2009 | 3.7991 | 2.2009 | 0.1991 | 3.0000 | ✓ gültig |
| 51 | 1.7637 | 4.2363 | 2.1780 | 0.2220 | 3.0000 | ✓ gültig |
Grenzen der Varianten
| Parameter | Wert |
|---|---|
| ΔH | 0 … 5 m |
| L₁ | 3 … 15 m |
| α_S | 3° |
| L_ES, L_AS | 1.000 m |
| H_ES, H_AS | 0.300 m |
Zelle = kleinster gültiger α_F [°], — = keine Lösung
Aufwärts
| ΔH \ L₁ | 3 m | 4 m | 5 m | 6 m | 7 m | 8 m | 9 m | 10 m | 11 m | 12 m | 13 m | 14 m | 15 m |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 m | 33° | 18° | 12° | 9° | 9° | 6° | 6° | 6° | 6° | 6° | 6° | 3° | 3° |
| 1 m | — | 39° | 33° | 24° | 18° | 15° | 15° | 12° | 12° | 12° | 9° | 9° | 9° |
| 2 m | — | — | 45° | 39° | 33° | 24° | 24° | 24° | 18° | 15° | 15° | 15° | 12° |
| 3 m | — | — | 51° | 45° | 39° | 33° | 33° | 27° | 24° | 24° | 24° | 18° | 18° |
| 4 m | — | — | — | 51° | 45° | 39° | 39° | 33° | 33° | 27° | 24° | 24° | 24° |
| 5 m | — | — | — | — | 51° | 45° | 39° | 39° | 33° | 33° | 27° | 27° | 24° |
Abwärts
| ΔH \ L₁ | 3 m | 4 m | 5 m | 6 m | 7 m | 8 m | 9 m | 10 m | 11 m | 12 m | 13 m | 14 m | 15 m |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 m | 33° | 18° | 12° | 9° | 9° | 6° | 6° | 6° | 6° | 6° | 6° | 3° | 3° |
| 1 m | 24° | 12° | 9° | 6° | 6° | 6° | 6° | — | — | — | — | — | — |
| 2 m | — | 39° | 27° | 24° | 18° | 15° | 12° | 12° | 9° | 9° | 9° | 9° | 9° |
| 3 m | — | 51° | 39° | 33° | 27° | 24° | 24° | 18° | 15° | 15° | 15° | 12° | 12° |
| 4 m | — | — | 51° | 45° | 39° | 33° | 27° | 24° | 24° | 24° | 18° | 18° | 15° |
| 5 m | — | — | — | 51° | 45° | 39° | 33° | 33° | 27° | 24° | 24° | 24° | 24° |
Lücke bei ΔH = 1 m, L₁ ≥ 10 m: Im Abwärts-Fall ist der Zähler der L_F-Formel
(ΔH - H_{ES} - H_{AS}) - L_{rest} \cdot \tan(α_S). Bei ΔH = 1 m und L₁ = 10 m wird
L_{rest} = 8 m und der Zähler = (1 − 0,3 − 0,3) − 8 · tan 3° = 0,4 − 0,419 = −0,019.
Da der Nenner für alle α_F > 3° positiv ist, wird L_F negativ — es gibt keine gültige Lösung.
Weil bei so kleinem Höhenunterschied die Reststrecke mit 3°-Neigung allein schon mehr Höhe verbraucht als verfügbar ist. Die Reststrecke allein erzeugt durch die 3°-Neigung der S-Strecke plus H_ES + H_AS bereits mehr Höhe als der verfügbare Höhenunterschied ΔH = 1 m hergibt.