# Förderer transportiert aufwärts

![Alt text](bilder/SkizzeFördererStrecke.svg "Skizze von Förder und Strecke")

Formaln als Bild:
![Alt text](bilder/Berechnung-Foerderer.png)

Bekannt: 

$$
L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,
$$

Gesucht:

$$
L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, x_{Verhältnis}
$$


Beziehungen:

$$
  \frac{\Delta{H_F}}{L_F} = tan(\alpha_F) [1]
$$
$$
  \Delta{H_F} = tan(\alpha_F) \cdot L_F [1.2]
$$
$$
  \frac{\Delta{H_S}}{L_{S}} = tan(\alpha_S) [2]
$$
$$
  \Delta{H_S} = tan(\alpha_S) \cdot L_{S} [2.2]
$$
$$
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [3]
$$
$$
L_1 = L_F + L_S [4]
$$
$$
L_1 = L_F \cdot x_{Verhältnis} [5]
$$
$\Delta H_F$ aus [2.2] in [3]:
$$ 
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_S [6]
$$
$L_S$ aus [4] in [6]:
$$ 
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [7]
$$
$\Delta H_F$ aus [1] in [7]:
$$ 
  tan(\alpha_F) \cdot L_F = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot (L_1 - L_F) [8]
$$ 
auflösen nach $L_F$:
$$ 
  L_F \cdot [tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) ] = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]
$$
$$ 
  L_F = \frac{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) } 
$$
$L_F$ in [5] und auflösen nach x:
$$
L_1 \cdot \frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) \cdot L_1} = x_{Verhältnis}
$$
$$
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) }{\frac{H_1 - H_0}{L_1}+ tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
$$


## Zusammenfasung


Es errechnet sich 
- $L_F$ aus Beziehung [9]
- $L_S$ aus Beziehung [4]
- $\Delta H_F$ aus Beziehung [1]
- $\Delta H_S$ aus Beziehung [2]

Bei der Annahme, dass $L_F$ immer ein "Teil", also kleiner als $L_1$ sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:

<!--![Alt text](bilder/Formel_verhaeltnis_ergebnis.png)-->

$$
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
$$
$$
{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
$$
$$
{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
$$

# Förderer transportiert abwärts
![Alt text](bilder/SkizzeFördererAbwärtsStrecke.svg "Skizze von Förder und Strecke")

Formaln als Bild:
![Alt text](bilder/Berechnung-Foerderer-abwaerts.png)

Unterschied ist hier, dass der Winkel $\alpha_F$ in einem anderen Ursprung definiert wird. Alternativ kann man bei gleichem Ursprung wie vorher über die Z-Winkel Beziehung $\alpha_F$ als negativen Winkel definieren, der dann als positiver Wert in $\alpha_F'$ eingesetzt wird.

Dadurch ändert sich Gleichung 3 in:
$$
   H_0 = H_1 + \Delta{H_S} + \Delta{H_F}   [3]
$$
oder
$$
   \Delta{H_F} = H_0 - H_1 - \Delta{H_S}   [3.2]
$$
d.h. auf der rechten Seite haben alle Komponenten das jeweils inverse Vorzeichen.
Anstatt wie oben
$$
  \Delta{H_F} = - H_0  + H_1 + \Delta{H_S} [3-Aufwärts]
$$
daraus ergibt sich für $L_F$:
$$ 
  L_F \cdot [tan(\alpha_F') - tan(\alpha_S) ] = H0 - H_1 - tan(\alpha_S) \cdot L_1 [9]
$$
$$ 
  L_F = \frac{H_0 - H_1 - tan(\alpha_S) \cdot L_1} {tan(\alpha_F') - tan(\alpha_S) } 
$$

## Zusammenfasung

1. Berechnung von x_{Verhältnis}:

$$ x_{Verhältnis} = \frac{\left( \tan(\alpha_F) - \tan(\alpha_S) \right) \cdot L_1}{H_0 - H_1 - \tan(\alpha_S) \cdot L_1} $$

2. Berechnung von  L_F :

$$ L_F = \frac{L_1}{x_{Verhältnis}} $$

3. Berechnung von  L_S :

$$ L_S = L_1 - L_F $$

4. Berechnung von $\Delta H_F$:

$$ \Delta H_F = \tan(\alpha_F) \cdot L_F $$

5. Berechnung von $\Delta H_S$:

$$ \Delta H_S = \tan(\alpha_S) \cdot L_S $$