![Alt text](bilder/SkizzeFördererStrecke_mitEinAuslauf.svg "Skizze von Förder und Strecke")
Bekannt: 

<!--![Alt text](bilder/Formel_bekannt.png)-->
$$
L_1, H_0, H_1, \alpha_F, \alpha_S,\\
 H_{SEA}, L_{SEA}, H_{FEA}, L_{FEA}
$$
Gesucht:

<!--![Alt text](bilder/Formel_gesucht.png)-->
$$
L_F, L_S, \Delta H_F, \Delta H_S, (\rightarrow H_{Max})
$$

Beziehungen:

<!--![Alt text](bilder/Formel_beziehungen_1_8.png)-->
<!--![Alt text](bilder/Formel_beziehungen_9_13.png)-->
$$
  \frac{\Delta{H_F} - H_{FEA}}{L_{F} - L_{FEA}} = tan(\alpha_F) [1]
$$
$$
  \Delta{H_F} = tan(\alpha_F) * (L_{F} - L_{FEA}) + H_{FEA}[1.2]
$$
$$
  \frac{\Delta{H_S}-H_{SEA}}{L_{S}-L_{SEA}} = tan(\alpha_S) [2]
$$
$$
  \Delta{H_S} = tan(\alpha_S) * (L_{S}-L_{SEA}) + H_{SEA} [2.2]
$$
$$
  H_0 + \Delta{H_F} = H_1 + \Delta{H_S} [4]
$$
$$
  \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + \Delta{H_S} [4.2]
$$
$$
  L_1 = L_F + L_S [5]
$$
$$
  L_1 = L_F * x_{Verhältnis} [6]
$$
$L_1$ aus [6] in [5]: 
$$
 L_S = L_F * (x_{Verhältnis} - 1) [7]
$$
$\Delta{H_S}$ aus [2.2] in [4.2]:
$$
 \Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * (L_{S}-L_{SEA}) + H_{SEA}[9]
$$
$L_S$ aus [7] in [9]:
$$
\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * [L_F * (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})] + H_{FEA}[10]
$$
$L_F$ aus [6] in [10]:
$$
\Delta{H_F} = H_1 - H_0 + tan(\alpha_S) * \Bigl[\frac{L_1}{x_{Verhältnis}} * (x_{Verhältnis} - 1) - L_{SEA})\Bigr] + H_{FEA}[10]
$$
auflösen nach x:
$$
\Delta{H_F} - H_{FEA} + H_0 - H_1 + tan(\alpha_S) * L_{SEA}  = tan(\alpha_S) * L_F * (x_{Verhältnis} - 1) 
$$
$$
tan(\alpha_F) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr] - tan(\alpha_S) 
  \\
tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S) = x_{Verhältnis}*\Bigl[\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)\Bigr] 
$$
$$
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} = x_{Verhältnis}
$$

<!--![Alt text](bilder/Formel_aufloesen_x.png)-->

Dann errechnet sich leicht 
- L_F aus Beziehung [6]
- \Delta{H_F} aus [1]
- und L_S aus [5]

Bei der Annahme, dass $L_F$ immer ein "Teil", also kleiner als $L_1$ sein soll, erschliesst sich, dass nur x (grösser) gleich 1 gewünschte Ergebnisse liefert. Daraus ergibt sich, dass die folgende geometrischen Beziehung die gelten muß:

<!--![Alt text](bilder/Formel_verhaeltnis_ergebnis.png)-->
$$
\frac{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)}{\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)} \geq 1
$$
$$
{tan(\alpha_F) + tan(\alpha_S)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1} + tan(\alpha_S)}
$$
$$
{tan(\alpha_F)} \geq {\frac{H_1 - H_0}{L_1}}
$$

///

C-GPT

# Bekannte Werte:
L1, H0, H1, alpha_F, alpha_S, H_SEA, L_SEA, H_FEA, L_FEA

# Gesucht:
# L_F, L_S, ΔH_F, ΔH_S, (→ H_Max)

# Beziehungen:
# [1]    (ΔH_F - H_FEA) / (L_F - L_FEA) = tan(alpha_F)
# [1.2]  ΔH_F = tan(alpha_F) * (L_F - L_FEA) + H_FEA
# [2]    (ΔH_S - H_SEA) / (L_S - L_SEA) = tan(alpha_S)
# [2.2]  ΔH_S = tan(alpha_S) * (L_S - L_SEA) + H_SEA
# [4]    H_0 + ΔH_F = H_1 + ΔH_S
# [4.2]  ΔH_F = H_1 - H_0 + ΔH_S
# [5]    L_1 = L_F + L_S
# [6]    L_1 = L_F * x_Verhältnis

# Umstellen der Gleichungen für ΔH_F und ΔH_S:
ΔH_F = tan(alpha_F) * (L_F - L_FEA) + H_FEA
ΔH_S = tan(alpha_S) * (L_S - L_SEA) + H_SEA

# Einsetzen von L_S = L_1 - L_F:
tan(alpha_F) * (L_F - L_FEA) + H_FEA = H_1 - H_0 + (tan(alpha_S) * ((L_1 - L_F) - L_SEA) + H_SEA)

# Auflösen nach L_F:
tan(alpha_F) * L_F - tan(alpha_F) * L_FEA + H_FEA = H_1 - H_0 + tan(alpha_S) * L_1 - tan(alpha_S) * L_F - tan(alpha_S) * L_SEA + H_SEA

# Gruppieren der Terme:
tan(alpha_F) * L_F + tan(alpha_S) * L_F = tan(alpha_S) * L_1 + H_1 - H_0 - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA

# L_F isolieren:
L_F = (tan(alpha_S) * L_1 + H_1 - H_0 - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA) / (tan(alpha_F) + tan(alpha_S))

# Berechnung von x_Verhältnis:
x_Verhältnis = L_F / L_1
x_Verhältnis = (tan(alpha_S) + (H_1 - H_0 - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA) / L_1) / (tan(alpha_F) + tan(alpha_S))

# Vereinfachte Formel für x_Verhältnis:
x_Verhältnis = (tan(alpha_S) + ((H_1 - H_0) - tan(alpha_F) * L_FEA - H_FEA + tan(alpha_S) * L_SEA - H_SEA) / L_1) / (tan(alpha_F) + tan(alpha_S))